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经典科普读物:《数学那些事儿》 第一章2(连载)
2011-05-05 10:29 来源:世界经理人文摘  作者:lxg
如果你是文科生,相信你已经淡忘了大部分的数学知道。同时,也却可能仍然对一些很有意思的数学概念很感兴趣!

  【世界经理人文摘-讯】另一方面, 如果是 7 块地砖, 我们有且只能有一种方案 1 X 7, 如图A-2 所示。如果有人非要用 7 块地砖来铺一间房, 那么这间房子一定是又窄又长的。根据这个例子我们可以说, 如果一个数只有一种分解方案 p = 1 X p, 那么这个数就是素数。如果一个数有多种分解方案, 那么这个数就是合数。

  如果不是因为算术基本定理 (注意这里的算术一词使用的是其更广泛的意义)这个著名的结果, 素数也许不会在数论中占据中心位置。算术基本定理, 顾名思义, 就是整个数学中最基本最重要的一个命题,其内容如下。素数虽然是高级算术的核心, 但它们也是导致数学深奥难懂的根源。理由很简单:尽管整数是通过加法运算逐一构造出来的, 但素数和合数的问题向数学中引入了乘法。数论之难 (当然, 还有之美), 就在于数学家试图从乘法运算的角度来理解加法运算的结果。

  因此, 自然数就像离开了水的鱼一样。它们是加法运算的产物, 却身处陌生的乘法环境之中。当然, 在我们绝望地放弃整个事业之前, 我们应该回想一下 3 亿 5000 万年前。那时候, 鱼的确离开了水, 而且同样是在一个陌生的世界里徒劳无益地翕动着它们的鳃; 接着, 这些鱼逐渐进化成两栖类、爬行类、鸟类、哺乳动物和数学家。有时候, 一个新的不利的环境能够造就完全不一样的结果。

  算术基本定理:任何正整数 (1 除外) 都能够用一种方式且只能用一种方式写成素数之积。

  这个论断是一把双刃剑, 首先, 我们可以把任意的整数表示成素数的积, 其次, 只有一种表示方式。这必然引导我们得出这样的结论:素数是乘法的基本元素, 所有整数都是由这些基本元素构成的, 其重要性不言而喻。素数的角色与化学元素的角色类似, 因为正像任何自然化合物都是元素周期表中的 92 种 (或者 100 多种, 其中包括在实验室中制造出来的元素) 自然元素的某种组合一样, 任何一个整数都可以分解成它的素数因子之积。我们称之为水的化合物 H2O 分子可以分解成两个氢原子和一个氧原子。类似地, 化合数 (即合数)45 可以分解成两个素数因子3 和一个素数因子 5 之积。模仿水的化学记法, 我可以把 45 写成 45=325, 然而数学家更喜欢指数形式 45=32 X 5。

  但是, 算术基本定理不仅仅是给出了素数分解。同等重要的是, 它能够确保这样分解的唯一性。如果一个人确定 92 365 的素数因子分解为 5 X 7 X 7 X 13 X 29, 那么他的同行, 无论在隔壁房间还是在其他国家工作, 无论是工作在今天还是工作在距今 1000 个世纪之后, 必定给出完全相同的素数分解。

  这令数学家非常满意。同样, 下面的情况也令化学家感到满意:当一名化学家把一个水分子分解成一个氧原子和两个氢原子时, 其他化学家绝不可能把这个水分子分解成一个铅原子和两个钼原子。如同化学元素一样, 素数不仅是基本元素, 而且是唯一的基本元素。

  有必要提一下, 因子分解唯一性的愿望要求我们把 1 从素数中排除。因为, 如果把 1 归类为素数, 那么数14 可能的素数分解是 14=2 X 7以及不同的素数分解 14=1 X 2 X 7, 14=1 X 1 X 1 X 2 X 7。素数因子分解的唯一性不复存在。所以数学家认为给 1 一个特殊的角色会更好些。它既不是素数也不是合数, 被称为单位。

  面对一个正整数, 数学家可能希望确定它是素数还是合数, 当它是合数时, 接下来就要寻找它的素数因子。有时候, 这个问题很简单。任何一个偶数 (大于 2) 显然不是素数, 因为它有一个因子 2, 任何一个其个位是 5 或 0 的整数也同样是合数。除此之外, 确定素数性质问题就相对比较困难。例如,谁能确定数 4 294 967 297 和 4 827 507229 哪个是素数哪个不是素数吗?①

  注:① 641 可整除 4 294 967 297; 另一个数是素数。参见 David Wells, The PenguinDictionary of Curious and InterestingNumbers, Penguin, New York, p.192。【世界经理人文摘 digest.icxo.com】

关键词:数学   科普         
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