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经典科普读物:《数学那些事儿》 第一章3(连载)
2011-05-06 13:31 来源:世界经理人文摘  作者:lxg
如果你是文科生,相信你已经淡忘了大部分的数学知道。同时,也却可能仍然对一些很有意思的数学概念很感兴趣!
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  【世界经理人文摘-讯】19 世纪的数学家卡尔.弗里德里希.高斯 (1777―1855), 也许是他那个时代最伟大的数论学家, 在 1801 年的一份手稿《算术研究》中非常简洁地描述了这个问题:

  素数与合数的区分以及合数的素因子分解的问题是算术中最重要且最有用的问题之一..这门科学本身的高贵性似乎要求人们应该探索每一个能够解决这一巧妙、著名问题的方法。从古希腊人到现代数论学家的 2 400 多年间, 数学家们义无反顾地扑向这一类问题, 就如同飞蛾扑火, 前仆后继。沿途众学者们创造出关于素数的很多猜测。其中有一些已经解决, 而有一些至今仍悬而未解, 而且有相当数量的问题还没有得到解决。

  例如, 法国神学家马林.梅森 (1588―1648) 在 1644 年提出了一个很有趣的问题。梅森在 17 世纪科学中扮演重要的角色, 这不仅是因为他对数论做出了诸多贡献, 而且还因为他承担了数学家之间的信息交换台的角色。当学者们对数学现状比较关心或者对某个问题感到困惑时, 他们就写信给梅森, 而梅森或者知道其答案或者把他们直接引荐给某位可能的权威。在科学会议、专业期刊以及电子邮件出现之前的那个时代, 这样的信息交流通道的价值是无法估量的。

  梅森痴迷于形如 2n . 1 的数, 即比 2 的某个幂少 1 的数。今天为了纪念他, 我们把这样的数称为梅森数。显然, 所有这样的数都是奇数。更重要的是, 它们之中有一些是素数。

  梅森马上发现, 如果 n 是合数, 那么 2n.1 也一定是合数。例如,如果 n=12, 那么这个梅森数 211-1=4095=3 X3 X 5 X 7 X 13 是一个合数 (因为 12 是合数); 对于合数 n=33, 233-1=8 589 934 591=7 X 1 227133 513同样不是一个素数。

  然而, 当幂是素数时, 情况就不是这么显然了。设 p=2, 3, 5, 7, 产生的“梅森数”分别是 22.1=3, 23.1=7,25.1=31, 27.1=127。但是,如果用素数 p=11作幂, 我们得到 211.1=2047; 而这个数是 23 与 89 的积, 因此它是一个合数。梅森充分认识到 p 是一个素数不能保证 2p.1也是一个素数。事实上, 他断言:“对 2 与 257 之间的素数而言, 使 2p.1是素数的素数只有p=2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 和 257。”

  遗憾的是, 梅森前辈的结论有不合理和缺失的地方。例如, 他漏掉了数 261.1 是一个素数。另外, 已经证明 267-1根本不是一个素数。1876 年爱德华.卢卡斯 (1842―1891) 证明了这一事实, 他使用了某个论据证明了这个数是合数, 这个论据不是很直接, 因为它不能很明确地展示出任何因子。因此在某种意义上, 267-1的故事仍然很不完整, 但是对这一故事的最后部分值得再说两句。

  那一年是 1903 年, 背景是美国数学学会的一次会议。哥伦比亚大学的佛兰克.纳尔逊.柯尔是日程安排的演讲者之一。当轮到他上台时, 柯尔走到会议室的前台, 静静地把 2与它自己相乘 67 次, 再减去1, 得到一个巨大的结果 147 573 952 588 676 412 927。在见证了这样沉默无语的计算之后, 迷迷糊糊的观众们接下来看到柯尔在黑板上写到

  193 707 721 X 761838 257 287

  他仍旧是沉默地计算着。这个积不是别的数, 正是

  147 573 952 588 676 412 927

  柯尔落座。他完美地演出了一幕哑剧。

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